Identifikasi Variabel Sistim Persamaan Linier

Print
Category: Listrik & Elektronika
Last Updated on Wednesday, 10 December 2014 Published Date Written by Abdul Mukti

 

 

 

Identifikasi Variabel Sistim Persamaan Linier

Oleh: Drs. Abdul Mukti MT.

Widyaiswara Departemen Elektro PPPPTK BOE Malang

 

Abstrak

Sebuah sistim persamaan linear adalah sebuah sistim persamaan yang didalamnya terdapat dua atau lebih persamaan linear. Sistim persamaan linier merupakan bentuk persamaan dari garis lurus. Jika kedua (atau lebih) persamaan linier berpotongan, maka titik potongnya disebut solusi untuk sistem persamaan tersebut. Banyak cara untuk identifikasi / menentukan solusi dari sistim persamaan linier, diantaranya dengan metode konversi matriks augmented. Software Matlab sering digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan sistim persamaan linier.

Kata kunci: Persamaan linier, matriks augmented, software Matlab, konversi.

 

Pendahuluan

Matematika dan bidang teknik adalah dua hal yang tak dapat dipisahkan. Beberapa persoalan teknik sering kali membutuhkan pemecahan yang menuntut tekniker (sarjana teknik/mahasiswa) trampil dalam mengolah kaidah atau ketentuan matematik. Salah satu diantaranya yaitu menentukan nilai variabel pada sebuah sistim persamaan linier. Sistim persamaan linier dan kalkulasi matriks bagaikan pasangan tak terpisahkan dan kerap muncul pada perancangan design sistim kontrol khususnya sistim kontrol adaptiv. Berikut ini trik dalam menentukan nilai variabel pada sebuah sistim persamaan linier. Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dengan 3 variabel dapat diselesaikan dengan langkah sebagai berikut :

  1. Susun persamaan tersebut menjadi bentuk  matriks augmented.
  2. Merubah matriks augmented menjadi bentuk segitiga.

Nilai dari variabel biasanya sudah dapat langsung diketahui, setelah proses konversi matriks augmented menjadi matriks segitiga selesai. Untuk lebih jelas, perhatikan contoh berikut sebuah sistem persamaan linier dengan variabel-variabel p,q, dan r.

 
 

-2p  +2q  -3r = -25

 4p  +5q  -6r = -37

 2p   -3q  +5r = 33

 

 

 

 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . (1)                                               

 

 

 

 

 

 

 

Berikut langkah awal, untuk mendapatkan nilai variabel-variabel p, q, dan r adalah dengan cara mengatur semua tiga persamaan dalam bentuk standar :

 

Ax + By + Cz = D  à  bentuk standar ini sudah dibuat, lihat pada    persamaan (1) di atas.

Identifikasi Konversi Matriks Augmented

 

Selanjutnya buat matriks augmented 3 baris dan 4 kolom. Setiap baris dalam matriks augmented  akan mewakili salah satu dari tiga persamaan. Angka pertama dalam setiap baris adalah koefisien untuk variabel p, angka kedua dalam setiap baris adalah koefisien variabel q, dan angka ketiga di setiap baris adalah koefisien untuk variabel r, serta angka terakhir (keempat) di setiap baris adalah konstanta.

 

 

Tujuan akhir dari proses ini yaitu mengkonversi matriks augmented menjadi bentuk segitiga, apabila ini telah dilakukan, maka proses selesai. Bentuk matriks segitiga akan terlihat seperti berikut, dengan pola diagonal 1 dengan 0 di sekitarnya, dan kolom terakhir (kolom 4) tidak diisi dengan bilangan.

 

 

 

 Apabila matriks segitiga telah terbentuk seperti diagram di atas, segera dapat diketahui bahwa ,baris 1 akan menjadi nilai solusi p (ditulis dengan tanda ?), dan baris 2 akan menjadi nilai solusi q (ditulis dengan tanda ?), serta pada baris 3 akan menjadi nilai solusi r (ditulis dengan tanda ?). Langkah untuk mengkonversi matriks augmented menjadi matriks segitiga,dilakukan dengan cara operasi baris, satu per satu.

 

Operasi tersebut dapat dilaksanakan seperti berikut :
1. Kalikan baris-baris matriks dengan nilai ≠ 0.
2. Ganti baris matriks dengan hasil penambahan suatu baris ke baris yang lain.

 

Perhatian :

Dapat pula terjadi kesalahan yang fatal pada saat operasi perkalian atau pembagian, agar terhindar dari masalah ini sebaiknya gunakan kalkulator atau alat hitung lainnya.

 

 

 

Kalikan baris 1 dengan nilai -½

 

Jumlahkan baris 2 dengan nilai -4 kali baris 1

 Jumlahkan baris 3 dengan nilai -2 kali baris 1

 

 Kalikan baris 2 dengan 1/ 9

 

 

Jumlahkan baris 3 dengan nilai 1 kali baris 2

 

 

 Kalikan baris 3 dengan -9/3

 

 

 Jumlahkan baris 2 dengan nilai 12/9 kali baris 3

 

 Jumlahkan baris 1 dengan nilai -3/2 kali baris 3

 

Jumlahkan baris 1 dengan nilai 1 kali baris 2

 

Hasil dari konversi matriks augmented menjadi bentuk akhir segitiga yaitu :

 

Proses Identifikasi Menggunakan Matlab

Matlab kependekan dari Matrix Laboratory adalah salah satu software yang sering digunakan untuk memecahkan berbagai permasalahan matematis dalam bidang teknik. Dengan demikian matlab dapat pula digunakan untuk menentukan nilai-nilai variabel dalam sistem persamaan linier. Mencari solusi untuk masalah seperti persamaan di bawah ini, dapat diselesaikan secara cepat dengan bantuan matlab.

        2p  +2q  -3r = -25

         4p  +5q  -6r = -37

        2p -3q  +4r = 33

 

Sistim persamaan linier 3 variabel di atas, dapat dituliskan dalam bentuk matriks berikut :

 

Bentuk matriks di atas, terlebih dahulu dianalogikan dengan sebuah persamaan, maka diperoleh persamaan yang baru yaitu : A*X = B.

Untuk mendapatkan nilai X, bentuk persamaan harus dirubah menjadi :

    

Setelah mengaktifkan software Matlab, tuliskan listing program pada Command Window seperti berikut :

>> A=[-2 2 -3; 4 5 -6; 2 -3 4];                    % menyusun elemen matriks A

>> B =[-25; -37; 33];                                 % menyusun elemen matriks B

>> X=inv(A)*B                                          % invers matriks A dikali matriks B

 

Ketika selesai mengetikanX=inv(A)*B, selanjutnya menekan Enter, pada command window segera tampil jawaban sebagai berikut :

X = 

        2.0000

       -3.0000

        5.0000

Gambar di bawah memperlihatkan tampilan command window matlab seutuhnya dalam melaksanakan eksekusi perkalian matriks A dan matriks B, untuk mendapatkan solusi sebuah sistim persamaan linier.    

 

Hasil akhir penyelesaian dari sistim persamaan linier dengan 3 variabel pada persamaan (1) di atas, menggunakan bantuan software matlab diperoleh :

 

Kesimpulan

Penggunaan software matlab untuk identifikasi atau menyelesaikan sebuah sistim persamaan linier dengan 3 variabel, sangat cepat mendapatkan solusi akhir yang sesuai dengan teori. Lebih dari itu instruksi programnya sederhana dan mudah difahami. Namun demikian pengetahuan perhitungan matriks wajib dimiliki seseorang, agar ia lebih cepat menguasai aplikasi software matlab.

 

 

Referensi

http://EzineArticles.com/?expert=Tom_Lillig.

Eric Arie.MT, Diklat Pelatihan Matlab Basic Operation, PPPPTK Malang, 2011.

 

Copyright 2019. Powered by Humas. PPPPTK BOE MALANG